Arco capaz, concepto, construcción y caso particular para 90º

¿Arco capaz?

Si no sabéis lo que es, y os interesa la geometría métrica, estáis en el sitio adecuado. Vamos a intentar clarificar el concepto y a explicar cómo se obtiene, sea cual sea el ángulo dado. También veremos un caso particular y explicaremos las utilidades geométricas del arco capaz.

El arco capaz es útil para resolver problemas relacionados con ángulos de triángulos, de lugares geométricos y para demostrar teoremas clásicos de geometría métrica.

Concepto de arco capaz

El arco capaz es el lugar geométrico de los puntos que unidos con los extremos de un segmento dado AB forman siempre un mismo ángulo α.

Dicho de otra manera, el lugar geométrico de los vértices de los ángulos que tienen la misma amplitud y abarcan un mismo segmento.

Existen dos soluciones para el arco capaz de un segmento AB para un ángulo α, y son dos arcos de circunferencia simétricos, en el que el segmento AB es el eje de simetría. Si unimos cualquier punto de cualquiera de los dos arcos con los puntos A y B, el ángulo que se formará entre los dos segmentos trazados será siempre el mismo, α.

Como podéis observar en los gráficos, los puntos del arco capaz son vértices de triángulos inscritos cuya base común es una cuerda de la circunferencia, el segmento AB, y tienen la propiedad de tener asociado en ese vértice un mismo ángulo α. Si trazamos un ángulo central (cuyo vértice está en el centro de la circunferencia que contiene al arco capaz) que abarque el segmento AB, obtenemos un ángulo que es el doble que α. 

Construcción del arco capaz dado un punto P y un segmento AB

Una de las maneras de trazar un arco capaz, es a partir de un punto P y un segmento AB.

Con estos datos, se empieza por trazar los segmentos PA y PB.

A continuación, se hallan las mediatrices de esos segmentos. La intersección entre ambas, será el centro de la circunferencia que contiene el arco capaz que estamos buscando.

Cualquier punto de ese arco que unamos con segmentos a los puntos A y B, lo hará con un ángulo igual al ángulo α que se forma desde P.

Construcción del arco capaz dado un ángulo α y un segmento AB

Es más común que los datos ofrecidos para hallar el arco capaz, sean un ángulo α y un segmento AB.

En ese caso,  trazamos una recta que pasa por uno de los dos extremos del segmento AB, formando un ángulo α hacia la parte inferior. Una vez tenemos la recta, trazamos una perpendicular por el mismo punto.
Como veis en el gráfico, es posible trazar directamente una recta desde el extremo del segmento AB, usando el ángulo complemento de  α, que es 90º - α.

A continuación, trazamos la mediatriz de AB, y en la intersección con la recta anterior obtenemos el centro del arco capaz.

Al igual que con el método anterior, todo punto de ese arco "verá" el segmento AB bajo el mismo ángulo α.

Caso particular del arco capaz para α=90º

El arco capaz de α=90º es una semicircunferencia, y junto con su simétrico, forman una circunferencia completa.

Como se ve en el gráfico, el centro del arco capaz está en la mediatriz del segmento AB.

¿Para qué puedo usar el arco capaz de α=90º?

Si sabemos que la tangente de cualquier punto de una circunferencia, y el radio que une ese punto con el centro de la circunferencia son ortogonales, podemos determinar la tangente desde un punto exterior dado usando el concepto de arco capaz de 90º.

 

Por tanto, el arco capaz de 90 grados se puede usar para trazar la tangente desde un punto P dado a una circunferencia.

Para ello, construimos el arco capaz de 90º, es decir, una semicircunferencia, sobre el segmento que une el punto P al centro C de la circunferencia dato.

La intersección entre la circunferencia y el arco capaz, el punto T es el punto de tangencia que se pide. Uniendo el punto P con T, obtenemos la recta tangente a la circunferencia.
(OJO: La solución es doble y simétrica con respecto al eje que pasa por P y C)

 

En resumen:

La intersección entre el arco capaz de 90º y la circunferencia es el lugar geométrico que cumple una condición de pertenencia a la circunferencia sumada a una condición de angularidad: desde él se ve el segmento que une el punto P y el centro de la circunferencia con un ángulo de 90º.

Arco capaz interactivo en geogebra

Quería incrustar una plantilla que preparé en geogebra para jugar con ángulos distintos y sus arcos capaces, pero no logro hacerlo. Os dejo el enlace  para que comprobéis que por mucho que mováis P a lo largo del arco, α permanece inmutable.

Podéis modificar los puntos A, B y P, y también el ángulo α en el tirador que hay arriba a la derecha.

¡Hasta la próxima publicación!