En esta entrada vamos a aclarar el concepto de potencia de un punto respecto a una circunferencia. Nos será de utilidad para siguientes publicaciones sobre tangencias e inversiones, así como para la determinación de lugares geométricos importantes, como el eje radical de dos circunferencias.
Para la explicación vamos a relacionar los teoremas de Thales y Pitágoras y utilizar las nociones de arco capaz que tratamos anteriormente.
Para P interior a al circunferencia:
En cualquier caso, se cumple:
W = PA·PB = PC·PD = PE·PF = (PT)²= k² = cte
En otras palabras, la potencia W de un punto P respecto de una circunferencia c es el producto de la mayor por la menor distancia del punto P a la circunferencia c.
El concepto de potencia se basa por tanto, en el producto de dos segmentos, y
variará según el punto P sea exterior o interior a la circunferencia.
Mediante la definición de potencia:
W = PA·PB = (PT)² = dmin · dmax = (do - R)(do + R) = do² - R²
Mediante el teorema de Pitágoras:
PO² = PT² + OT²
que es lo mismo que:
do² = R² + k²
Y por tanto
k² = do² - R²
Mediante la definición de potencia:
W = PA·PB = dmin · dmax = (R - do)(R + do) = R² - do²
Cuando P es interior, no tenemos un segmento de tangencia del que partir para calcular la potencia respecto a la circunferencia, pero como vemos en la figura de arriba, podemos recurrir al teorema de Pitágoras.
OT² = PT² + PO²
que es lo mismo que:
R² = k² + do²
Y por tanto:
k² = R² - do²
Y esto será así para cualquier cuerda de la circunferencia que pase por P.
Para la explicación vamos a relacionar los teoremas de Thales y Pitágoras y utilizar las nociones de arco capaz que tratamos anteriormente.
Definición de Potencia (W):
Si P es un punto en el plano y se fija una circunferencia con centro O, entonces para cualquier recta que pase por P y corte a la circunferencia en dos puntos A, B, se cumple que PA·PB es constante, y esto es independiente de la posición de la recta.Para P exterior a la circunferencia:
El valor de dicha constante se denomina la potencia del punto P.
Para P interior a al circunferencia:
En cualquier caso, se cumple:
W = PA·PB = PC·PD = PE·PF = (PT)²= k² = cte
En otras palabras, la potencia W de un punto P respecto de una circunferencia c es el producto de la mayor por la menor distancia del punto P a la circunferencia c.
Potencia para P exterior a la circunferencia
W = PA·PB = (PT)² = dmin · dmax = (do - R)(do + R) = do² - R²
Mediante el teorema de Pitágoras:
PO² = PT² + OT²
que es lo mismo que:
do² = R² + k²
Y por tanto
k² = do² - R²
Potencia para P interior a la circunferencia
Mediante la definición de potencia:
W = PA·PB = dmin · dmax = (R - do)(R + do) = R² - do²
Cuando P es interior, no tenemos un segmento de tangencia del que partir para calcular la potencia respecto a la circunferencia, pero como vemos en la figura de arriba, podemos recurrir al teorema de Pitágoras.
OT² = PT² + PO²
que es lo mismo que:
R² = k² + do²
Y por tanto:
k² = R² - do²
Y esto será así para cualquier cuerda de la circunferencia que pase por P.
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