Problema Fundamental de Tangencias

En esta entrada, vamos a tratar el Problema Fundamental de Tangencias (en adelante PFT).

Para empezar, ¿qué es el PFT? pues podemos enunciarlo como el problema de determinación de una circunferencia que ha de cumplir dos condiciones: pasar por dos puntos dados y ser tangente a una recta o bien a otra circunferencia dada (si consideramos que una recta es una circunferencia de radio infinito, podemos pensar en la tangencia a una recta como un caso particular de tangencia a una circunferencia).

Vamos a dar un paso más y considerar que esa condición de dos puntos de paso indica una condición de pertenencia a un haz corradical de circunferencias.

• Un haz corradical de circunferencias es una familia de circunferencias con un eje radical común, y que además tienen sus centros sobre una misma recta, a la que llamamos base del haz.
• El eje radical de dos circunferencias no concéntricas es el lugar geométrico de los puntos con igual potencia respecto de las mismas.

Los haces corradicales se pueden clasificar en tres familias atendiendo a varias características, y esta clasificación nos permite tratar estas circunferencias de forma homogénea y adaptar las construcciones básicas a cada caso:

1. Por las intersecciones entre las circunferencias que lo forman y el eje radical:
   
   • Si todas son secantes entre sí, y se cortan en los mismos 2 puntos del eje radical, denominados puntos fundamentales del haz: es un HAZ ELÍPTICO.
   • Si todas son tangentes entre sí en un mismo punto, el central del eje radical, denominado punto límite: es un HAZ PARABÓLICO.
   • Si las circunferencias no son secantes, y el eje radical no toca a ninguna: es un HAZ HIPERBÓLICO.
2. Según el número de circunferencias de radio nulo que existen en el haz:
   
   • Si no hay ninguna de radio nulo (la circunferencia de menor radio tiene por diámetro la distancia entre los puntos fundamentales): es un HAZ ELÍPTICO
   • Si hay sólo una circunferencia con radio nulo, que coincide con el punto de tangencia y el centro del eje radical: es un HAZ PARABÓLICO.
   • Si hay dos de radio nulo, denominados puntos límites del haz: es un HAZ HIPERBÓLICO. 
3.  Según el signo de la potencia en el eje radical:
   • HAZ ELÍPTICO: el segmento de eje radical que está dentro de las circunferencias tiene valor de potencia negativo, los dos puntos fundamentales tienen potencia nula, y el resto potencia positiva.
   • HAZ PARABÓLICO: El punto de tangencia entre el eje radical y las circunferencias, el punto límite, tiene potencia nula y el resto potencia positiva.
   • HAZ HIPERBÓLICO: Todo el eje radical tiene potencia positiva y mayor que cero.

Dicho esto, vamos a desarrollar la solución al PFT aplicándolo al caso del haz elíptico.

Enunciado del PFT:

Análisis del PFT:

Resolución del PFT: 

Para la resolución, será de utilidad revisar los conceptos de Teorema del Cateto, de la Altura y Potencias.

Dada la circunferencia tangente y los dos puntos de paso:

Lo primero será trazar el eje radical, la recta que pasa por los dos puntos fundamentales de paso del haz elíptico, y la recta base del haz, el lugar geométrico de todos los centros las circunferencias que lo componen, que es perpendicular al eje radical por la mediatriz del segmento F1F2.

También vamos a necesitar la circunferencia mínima del haz, que es la que tiene por diámetro el segmento F1F2, con centro en la intersección entre el eje radical y la recta base.

Para avanzar en la solución del problema, tenemos que trazar una circunferencia auxiliar secante a la circunferencia dato y la la circunferencia mínima del haz.
Para facilitar el funcionamiento en geogebra, se tomarán como puntos de paso de esa circunferencia el centro de c y uno de los puntos fundamentales del haz (tomando ambos la solución es más directa).

Trazamos los ejes radicales entre la circunferencia dato y la auxiliar, y entre la auxiliar y la circunferencia mínima del haz. El punto donde intersecan ambos ejes radicales, es equipotente a las tres circunferencias, por lo tanto, el eje radical entre la circunferencia dato y la mínima del haz, pasa por él y es perpendicular al segmento que une los centros de c y cmin.

Cr, el punto donde se intersecan el eje radical del haz y el eje radical de c y  cmin del haz, es el centro de una circunferencia perteneciente al haz conjugado al haz elíptico con el que estamos trabajando, que es ortogonal a todo el haz elíptico y a la circunferencia dato. Sabiendo su centro, podemos determinar su radio y puntos de ortogonalidad con la circunferencia dato por medio de un arco capaz de 90º.

Esa circunferencia también será ortogonal a las dos circunferencias solución que estamos buscando. Y lo será en los mismos dos puntos, que por tanto son puntos de tangencia de esas soluciones con la circunferencia dato.

Determinamos los centros de esas circunferencias tangentes en la intersección de los LGCS que hemos obtenido, las rectas que unen los puntos de tangencia con el centro de la circunferencia dato, y la recta base.

Las dos circunferencias tangentes a la circunferencia dato, que pasan por los dos puntos fundamentales son:

Os dejo el geogebra que he empleado para la explicación, moviendo el deslizador podéis ver todo el proceso. También podéis manipular el centro y el punto de la circunferencia dato, así como los dos puntos fundamentales para comprobar que la solución funciona aunque cambien de lugar. Si preferís verlo a pantalla completa, os dejo el enlace.

¡Espero que lo hayáis entendido!