Determinar el Lugar geométrico de los centros de circunferencias ortogonales a otras dos dadas

Dadas dos circunferencias CA y CB, se nos pide hayar el LG de los centros de circunferencias que son ortogonales a ambas a la vez.

Concepto:

dA²= RA² + Ri²
dB²= RB² + Ri²
dA² - dB² = RA² + RB² = cte

Si la diferencia de los cuadrados de las distancias a los centros es constante, tiene que ser una recta.
Esa recta además es perpendicular a la línea de centros.

Desarrollo:

Para determinar el LGCS, empezaremos por elegir un punto cualquiera PA en la circunferencia CA, y un punto PB en la circunferencia CB, y trazaremos las rectas tangentes a la circunferencia por esos puntos.

 

Cualquier circunferencia que corte a otra circunferencia por el punto de tangencia y tenga su centro la recta tangente por ese punto, será perpendicular a ésta. Sabiendo esto, elegiremos un radio Ri, y lo trasladaremos a las rectas tangentes desde PA y PB.

Trazamos las circunferencias con centro en OA y OB que pasan por los extremos de los radios marcados. Donde se corten ambas circunferencias auxiliares, estará Oi, que es el centro de una de las dos circunferencias con radio Ri, que son perpendiculares a CA y CB.

Al trazar la circunferencia Ci, con radio Ri en el centro Oi, ésta corta a las circunferencias en los puntos TAi y TBi que son los puntos donde son perpendiculares entre sí.

Pero ese punto Oi es el centro de una circunferencia concreta. Para hallar el lugar geométrico de todas las circunferencias que cumplen la condición de ser perpendiculares a CA y CB hay que trazar el segmento que une los centros de ambas circunferencias, OA y OB, y trazar una recta perpendicular a ese segmento que pase por Oi. Esa recta es el Eje Radical CA CB y contiene todos los centros.

Todos los puntos del Eje Radical son equipotentes respecto a las dos circunferencias dadas. Para cada uno de sus puntos, la potencia con respecto a las dos circunferencias es el cuadrado del radio de la circunferencia ortogonal a ambas con ese centro.