
Concepto:
dA²= RA² + Ri²
dB²= RB² + Ri²
dA² - dB² = RA² + RB² = cte
Si la diferencia de los cuadrados de las distancias a los centros es constante, tiene que ser una recta.
Esa recta además es perpendicular a la línea de centros.
Desarrollo:
Para determinar el LGCS, empezaremos por elegir un punto cualquiera PA en la circunferencia CA, y un punto PB en la circunferencia CB, y trazaremos las rectas tangentes a la circunferencia por esos puntos.
Cualquier circunferencia que corte a otra circunferencia por el punto de tangencia y tenga su centro la recta tangente por ese punto, será perpendicular a ésta.
Sabiendo esto, elegiremos un radio Ri, y lo trasladaremos a las rectas tangentes desde PA y PB.
Al trazar la circunferencia Ci, con radio Ri en el centro Oi, ésta corta a las circunferencias en los puntos TAi y TBi que son los puntos donde son perpendiculares entre sí.
Pero ese punto Oi es el centro de una circunferencia concreta. Para hallar el lugar geométrico de todas las circunferencias que cumplen la condición de ser perpendiculares a CA y CB hay que trazar el segmento que une los centros de ambas circunferencias, OA y OB, y trazar una recta perpendicular a ese segmento que pase por Oi. Esa recta es el Eje Radical CA CB y contiene todos los centros.
Todos los puntos del Eje Radical son equipotentes respecto a las dos circunferencias dadas. Para cada uno de sus puntos, la potencia con respecto a las dos circunferencias es el cuadrado del radio de la circunferencia ortogonal a ambas con ese centro.
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